Clase 4.

EJERCICIO:

1) Si Smith una vez derrotó al fogonero jugando al billar, entonces Smith no es el fogonero.
2) Smith una vez derrotó al fogonero jugando al billar.
3) Si el guardafrenos es Jones, entonces Jones no es el fogonero.
4) El guardafrenos es Jones.
5) Si Smith no es el fogonero y Jones no es el fogonero, entonces Robinson es el fogonero.
6) Si el guardafrenos es Jones y Robinson es el fogonero, entonces Smith es el maquinista.

Por lo tanto,
7) Smith es el maquinista.

La cuestión a determinar es si la conclusión: “Smith es el maquinista” se deduce de las 6 premisas enunciadas previamente.

Las dos reglas de inferencia que utilizaremos para resolver este ejercicio son:

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Resolución:

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Otros razonamientos deductivos requieren el uso términos lógicos adicionales, por lo que a las conectivas que vimos en lógica proposicional se adicionan ahora los llamados “términos cuantificadores”.

También se requiere un análisis más complejo de las proposiciones que el que ofrecen las variables proposicionales. Ahora empezamos a distinguir sujeto (constante, variable) de predicado.

Para las constantes se usan letras como a, b, c, d.
Para las variables en cambio x, y, z.

Para los predicados se usan F, G, H, (“letras predicativas”).

Para que

sea verdadera debe haber por lo menos un caso en que sustituyendo la variable x por una constante se obtenga una proposición verdadera.

En cambio, para que

sea verdadera debe obtenerse una proposición verdadera con todas las sustituciones posibles de la variable x por una constante.

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- fin de nociones de lógica -

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REGLAS DE ELECCIÓN COLECTIVA

Definición: “Es una función tal que para cualquier conjunto de preferencias individuales de su dominio determina una y sólo una relación de preferencia social”.

Dado un conjunto de alternativas, cada conjunto de preferencias individuales contiene una ordenación de las alternativas por cada individuo.

La “Función” es un concepto matemático que relaciona elementos de dos conjuntos:

La característica que diferencia a la función de otras relaciones es que a cada elemento del dominio le hace corresponder uno y sólo uno del contradominio. Por ejemplo, la relación de filiación materna hace corresponder a cada elemento del dominio (conjunto de los seres humanos) un solo elemento del contradominio (conjunto de las madres).

Los elementos del dominio se llaman “argumentos” y los del contradominio “valores”. Tomemos la función "Madre de –––", que para cada argumento que coloquemos en lugar del guión hará corresponder un y sólo un valor. Suponiendo que la madre de Juan sea Marcela, esto se podría expresar así: Madre de (Juan)=Marcela. En general Madre de (x)=y. En forma más general aun: F(x)=y.

El dominio de las reglas de elección colectiva tiene elementos que son conjuntos de preferencias individuales:

Referencias:

En violeta: Conjuntos de preferencias individuales (dominio)./En celeste: Ordenaciones posibles de las alternativas (contradominio).

El mecanismo que me permite pasar del conjunto de preferencias a la decisión (ordenación única de las alternativas) es precisamente la “regla de elección colectiva”. Esta ordenación única es lo que se llama “preferencia social”.